副标题

中考数学教学指导:多切入点突破中考压轴填空题


多切入点突破中考压轴填空题


    现今中考试题呈现多头压轴的趋势.命题者在一份中考试题的压轴题设置上,不局限于最后一道解答题压轴,而在选择题、填空题 的最后一题,都有可能是一份试卷的压轴题.如何化解压轴题的羁绊,成为解答试题的成败关键,本文以一道填空压轴题为例,谈谈如何多切入点突破压轴题难关.

题目  如图1所示,在⊙O的内接四边形ABCD中,AC是[来源:学|科|网Z|X|X|K]

直径,且AD=CD,AB=8,BD=10,则tan∠BDC=_____.

分析  本题条件的陈述非常简练,没有一个冗余字眼,学生对条件

的阅读理解比较轻松,体现数学以简洁为美的特点.然而,这道题目考

查范围非常广泛,解题方法很多,对照相关考试说明中阐述的知识条目,在这道题目中就包含11个:

   1.弦、弧、圆心角的关系;

   2.直径所对圆心角的关系;

   3.等腰三角形的有关概念;

   4.等腰三角形的性 质;

   5.运用勾股定理解决简单问 题;

   6.运用三角函数解决直角三角形有关的简单实际问题;[来源:学科网]

 7.简单的整式加减运算;

 8.二次根式的运算等知识条目;

 9.探索并掌握正方形的有关性质;

 10.探索并掌握两个三角形全等的条件;

 11.利用旋转组合进行图形的设计.

  本 题考查知识点丰富,在解题时可以从多方面切入,立足已知条件,应用初中数学解题思想,逐步推进,解决问题.


   


 解法1  如图2,作AH⊥BD于点H.[来源:学|科|网Z|X|X|K]

∵A C是直径,

∴∠ADC=∠ABC=90°.

∵AD=CD.

∴∠DAC=∠ACD=45°,

∴∠ABD=∠ACD=45°.

AHBD,

∴△ABH是等腰直角三角形.

∵AB=8.

∴H=BH=4

∵BD=10

∴DH=10-4=6

在Rt△AHD中,

AD2=AH2+DH2

=(4)2+(6)2

=104.

而AC2=AD2+CD2=208,

∴在Rt△ABC中,AC2=AB2+CB2

BC2=AC2-AB2

    =208-64=144,

即 BC=12.[来源:学&科&网Z&X&X&K]

∵∠BDC=BAC,

tanBDC=tanBAC

   点评  这是一种常规解法.从需要解决的结果入手,要求一个角的三角函数值,可将所求的角放在直角三角形中,即根据∠ BDC=∠BAC,将所求的 角度等量代换到直角△AB C中,然后求得BC的长度;而想要得到BC长度,因为AB是已知的,必须求出线段AC长,联想到△ADC是等腰直角三角形,可通过线段AD来解决.于是过点A作BD的垂线构造直角三角形,从而把未知量求出来.

   解法2  如 图2,同解法1,求得

   AH=BH=4,DH=6

 tan∠DAH=

 ∵∠DAC=∠BAH.

 ∴∠DAC+HAC=BAH+HAC,

 即∠DAH=∠BAC.

 ∵∠BDC =∠BAC.

 tanBDC=tanBAC

=tan DAH=

   点评  本解法与解法1比较,解题思路巧妙之处在于∠BDC等价变换到∠BAC后,又充分利用等量关系,得出∠DAH等于∠ BAC,而△DAH的两条直角边都很容易求出,从而把问题解决了.

   解法3  如图3,过点D分别作DG⊥AB,DH⊥BC,垂足分别为G、H.

   易证△DGA≌△DHC,

    ∴DG=DH,AG=DH,

   ∴四边形DCBH为正方形.

   ∵BD=10

   ∴BH=BG=10.[来源:Zxxk.Com]

   ∵AB=8.

BC=BH+CH=12.

∵∠BDC=∠BAC, ∠ABC=90°,

tanBDC=tanBAC

   点评  本解法从∠ADC=90°,AD=CD入手,构造正方形DGBH,再根据正方形的边长相等,推导出线段BC的长度.

   解法4  如图4,将△DAB绕点D逆时针方向旋转90°.

  ∵∠ADC=90°,AD=AC,

   ∴点A、C重合,

   又∵∠DAB+∠BCD=180°,

   ∴点B、C、E三点共线,

   ∴△DBE是一个以BD为腰的等腰三角形,

   ∵BD=10

   BE=20,

   ∵AB=CE=8.

   ∴BC=12.

   ∵∠BDC=∠BAC.

tanBDC=tanBAC

点评  本解法巧妙利用图形的旋转变换性质,将四边形ABCD利用旋转变换组合成一

个等腰直角△DCE,从而求出线段BC的长度.

   解法5  由托勒密定理,可知

   AD.BC+AB.CD=AC.BD.

   设AD=CD=a,则AC=a.

   ∵AB=8,BD=10

   ∴a.BC+8a=a·10

∴BC=12.

∵∠BDC=∠BAC,

∴tan∠BDC= tan∠BAC

   点评  对于平时学有余力的同学,适当补充课外知识,在考场上也有大展身手的时候.比较以上解题方法,利用托勒密定理,是解题步骤最少的一种方法.


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