中考数学教学指导：多切入点突破中考压轴填空题

多切入点突破中考压轴填空题

   现今中考试题呈现多头压轴的趋势．命题者在一份中考试题的压轴题设置上，不局限于最后一道解答题压轴，而在选择题、填空题的最后一题，都有可能是一份试卷的压轴题．如何化解压轴题的羁绊，成为解答试题的成败关键，本文以一道填空压轴题为例，谈谈如何多切入点突破压轴题难关．

题目  如图1所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC是[来源:学|科|网Z|X|X|K]

直径，且AD＝CD，AB＝8，BD＝10，则tan∠BDC＝_____．

分析  本题条件的陈述非常简练，没有一个冗余字眼，学生对条件

的阅读理解比较轻松，体现数学以简洁为美的特点．然而，这道题目考

查范围非常广泛，解题方法很多，对照相关考试说明中阐述的知识条目，在这道题目中就包含11个：

   1．弦、弧、圆心角的关系；

   2．直径所对圆心角的关系；

   3．等腰三角形的有关概念；

   4．等腰三角形的性质；

   5．运用勾股定理解决简单问题；

   6．运用三角函数解决直角三角形有关的简单实际问题；[来源:学科网]

 7．简单的整式加减运算；

 8．二次根式的运算等知识条目；

 9．探索并掌握正方形的有关性质；

 10．探索并掌握两个三角形全等的条件；

 11．利用旋转组合进行图形的设计．

  本题考查知识点丰富，在解题时可以从多方面切入，立足已知条件，应用初中数学解题思想，逐步推进，解决问题．

解法1  如图2，作AH⊥BD于点H．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

∵AC是直径，

∴∠ADC＝∠ABC＝90°．

∵AD＝CD．

∴∠DAC＝∠ACD＝45°，

∴∠ABD＝∠ACD＝45°．

∵AH⊥BD，

∴△ABH是等腰直角三角形．

∵AB＝8．

∴H＝BH＝4．

∵BD＝10，

∴DH＝10－4＝6．

在Rt△AHD中，

AD2＝AH2＋DH2

＝(4)2＋(6)2

＝104．

而AC2＝AD2＋CD2＝208，

∴在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋CB2，

∴BC2＝AC2－AB2

    ＝208－64＝144，

即 BC＝12．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

∵∠BDC＝∠BAC，

∴tan∠BDC＝tan∠BAC

．

   点评  这是一种常规解法．从需要解决的结果入手，要求一个角的三角函数值，可将所求的角放在直角三角形中，即根据∠BDC＝∠BAC，将所求的角度等量代换到直角△ABC中，然后求得BC的长度；而想要得到BC长度，因为AB是已知的，必须求出线段AC长，联想到△ADC是等腰直角三角形，可通过线段AD来解决．于是过点A作BD的垂线构造直角三角形，从而把未知量求出来．

   解法2  如图2，同解法1，求得

   AH＝BH＝4，DH＝6，

 tan∠DAH＝．

 ∵∠DAC＝∠BAH．

 ∴∠DAC＋∠HAC＝∠BAH＋∠HAC，

 即∠DAH＝∠BAC．

 ∵∠BDC＝∠BAC．

 ∴tan∠BDC＝tan∠BAC

＝tan∠DAH＝．

   点评  本解法与解法1比较，解题思路巧妙之处在于∠BDC等价变换到∠BAC后，又充分利用等量关系，得出∠DAH等于∠BAC，而△DAH的两条直角边都很容易求出，从而把问题解决了．

   解法3  如图3，过点D分别作DG⊥AB，DH⊥BC，垂足分别为G、H．

   易证△DGA≌△DHC，

   ∴DG＝DH，AG＝DH，

   ∴四边形DCBH为正方形．

   ∵BD＝10，

   ∴BH＝BG＝10．[来源:Zxxk.Com]

   ∵AB＝8．

∴BC＝BH＋CH＝12．

∵∠BDC＝∠BAC， ∠ABC＝90°，

∴tan∠BDC＝tan∠BAC

．

   点评  本解法从∠ADC＝90°，AD＝CD入手，构造正方形DGBH，再根据正方形的边长相等，推导出线段BC的长度．

   解法4  如图4，将△DAB绕点D逆时针方向旋转90°．

  ∵∠ADC＝90°，AD＝AC，

   ∴点A、C重合，

   又∵∠DAB＋∠BCD＝180°，

   ∴点B、C、E三点共线，

   ∴△DBE是一个以BD为腰的等腰三角形，

   ∵BD＝10，

   ∴BE＝20，

   ∵AB＝CE＝8．

   ∴BC＝12．

   ∵∠BDC＝∠BAC．

∴tan∠BDC＝tan∠BAC

点评  本解法巧妙利用图形的旋转变换性质，将四边形ABCD利用旋转变换组合成一

个等腰直角△DCE，从而求出线段BC的长度．

   解法5  由托勒密定理，可知

   AD．BC＋AB．CD＝AC．BD．

   设AD＝CD＝a，则AC＝a．

   ∵AB＝8，BD＝10，

   ∴a．BC＋8a＝a·10，

∴BC＝12．

∵∠BDC＝∠BAC，

∴tan∠BDC＝tan∠BAC

＝．

   点评  对于平时学有余力的同学，适当补充课外知识，在考场上也有大展身手的时候．比较以上解题方法，利用托勒密定理，是解题步骤最少的一种方法．