副标题

中考数学教学指导:二次函数与存在性问题


二次函数与存在性问题

一、与等腰三角形、直角三角形相关

【例1
如图,在梯形中,,梯形的高为.动点点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度 向终点运动.设运动的时间为(秒).

(1)当时,求的值;

(2)试探究:为何值时,为等腰三角形.


【例2
如图,在平面直角坐标系中,矩形的边轴的正半轴上,轴的正半轴上,,点 在边上且[来源:学科网]

(1)求直线的解析式.

(2)在轴上是否存在点,直线与矩形对角线交于点,使得为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的 的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)抛物线经过怎样平移,才能使得平移后的抛物线过点和点(点轴正半轴上),且沿折叠后点落在边处?


【例3
如图,已知抛物线 的顶点为,与轴相交于两点(点在点的左边),点的横坐标是

(1)求点坐标及的值;

(2)如图1,抛物线与抛物线关于轴对称,将抛物线向左平移,平移后的抛物线记为的顶点为,当点关于点成中心对称时,求的解析式

(3 )如图2,点轴负半轴上一动点,将抛物线绕点旋转后得到抛物线.抛物线的顶点为,与x轴相交于EF两点(点E 在点F的左边),当以点PNE为顶点的三角形是直角三角形时,求顶点的坐标.


【例4
在平面直角坐标系中,AB为反比例函数的图象上两点,A点的横坐标与B点的纵坐标均为1,将的图象绕原点O顺时针旋转90°,A点的对应点为B点的对应点为

(1)求旋转后的图象解析式;

(2)求点的坐标;

(3)连结.动点 点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1 个单位长度的速度向终点运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设运动的时间为秒,试探究:是否存在使为等腰直角三角形的值,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.


[来源:学+科+网]




【例5
已知抛物线轴相交于点,且是方程 两个实数根,点为抛物线与轴的交点.

(1)求的值;

(2)分别求出直线的解析式;

(3)若动直线与线段分别相交于两点,则在轴上是否存在点,使得为等腰直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.


[来源:学科网]

二、与平行四边形相关

【例6
抛物线轴相交于两点(点的左侧),与轴相交于点,顶点为.

(1)直接写出三点的坐标和抛物线的对称轴;

(2)连接,与抛物线的对称轴交于点,点为线段 上的一个动点,过点交抛物线于点,设点的横坐标为

用含的代数式表示线段的长,并求出当为何值时,四边形为平行四边形?

的面积为,求的函数关系式.


【例7
在平面直角坐标系中,已知抛物线经过三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点为第三象限内抛物线上一动点,点的横坐标为的面积为.求关于的函数关系式,并求出的最大值.

(3)若点是抛物线上的动点,点是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点的坐标.


【例8
已知:如图,在平面直角坐标系中,直线轴、轴的交点分 别为,将对折,使点的对应点落在直线上,折痕交轴于点

(1)直接写出点的坐标,并求过三点的抛物线的解析式;

(2)若抛物线的顶点为,在直线上是否存在点,使得四边形为平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;[来源:学科网ZXXK]

(3)设抛物线的对称轴与直线的交点为为线段上一点,直接写出的取值范围.


三、与梯形相关[来源:学.科.网]

【例9
如图,在菱形中,边中点,点从点开始沿方向以每秒cm的速度运动,同时,点从点出发沿方向以每秒的速度运动,当点到达点时,同时停止运动,设运动的时间为秒.

(1)当点在线段上运动时.

请用含的代数式表示 的长度;

若记四边形的面积为,求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);

(2)显然,当时,四边形即梯形,请问,当在线段的其他位置时,以为顶点的四边形能否成为梯形?若能,求出所有满足条件的的值;若不能,请说明理由.


【例10
如图,为正方形的对称中心,,直线 ,点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点出发沿方向以个单位每秒速度运动,运动时间为.求:

(1)的坐标为                

(2)当为何值时,相似?

(3)求的面积的函数关系式;并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值.


【例11
如图,在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点为轴交于点,将沿翻折后,点落在点处.

(1)求点的坐标;

(2)求经过三点的抛物线的解析式;

(3)若抛物线的对称轴与交于点,点为线段上一点,过点轴的平行线,交抛物线于点

①当四边形为等腰梯形时,求出点的坐标;

②当四边形为平行四边形时, 直接写出点的坐标.


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