副标题

中考数学教学指导:二次函数与最短路程问题


二次函数与路径最值问题

一、二次函数与方程、不等式综合

【例1
已知P)和Q(1,)是抛物线上的两点.

(1) 的值;

(2)判断关于的一元二次方程=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由;

(3)将抛物线的图象向上平移是正整数)个单位,使平移后的图象与轴无交点,求 最小值.






【例2
已知抛物线的图象如图所示,把的图象沿 翻折,得到抛物线的图象,抛物线与抛物线的图象合称图象[来源:学|科|网Z|X|X|K]

(1)求抛物线的顶点坐标,并画出抛物线的图象;

(2)若直线与抛物线有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切.若直线与抛物线C1相切,求的值;

(3)结合图象回答,当直线与图象有两个交点 时,的取值范围.




【例3
关于的一元二次方程有实数根,且为正整数.

(1)求的值;

(2)若此方程的两根均为整数,在平面直角坐标系中,抛物线轴交于两点(左侧),与轴交于点. 为对称轴上一点,且四边形为直角梯形,求的长;[来源:学科网]

(3)将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移,设顶点的坐标为,当抛物线与(2)中的直角梯形只有两个交点,且一个交点在边上时,直接写出的取值范围.






【例4
关于的一元二次方程.

(1)当为何值时,方程有两个不相等的实数根;

(2)点是抛物线上的点,求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,若点与点关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.



[来源:Zxxk.Com]



【例5
已知关于的一元二次方程[来源:学科网ZXXK]

(1)求证:不论取何值时,方程总有两个不相等的实数根.

(2)若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2,求关于的一元二次方程的解.

(3)在(2)的条件下,将抛物线绕原点旋转,得到图象,点轴上的一个动点,过点轴的垂线,分别与图象交于两点,当线段的长度最小时,求点的坐标.


【例6
已知关于的一元二次方程

(1)求证:当时,方程一定有两个不等的实数根;

(2)若代数式的值为正整数,且为整数时,求的值;

(3)当时,抛物线轴的正 半轴相交于点

时,抛物线轴的正半 轴相交于点[来源:学科网ZXXK]

若点在点的左边,试比较的大小.

二、二次函数与路径最值问题

【例7
已知抛物线经过点和点

(1)求此抛物线解析式;

(2)点分别是轴和轴上的动点,求四边形 长的最小值;

(3)过点轴的垂线,垂足为点.点从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴到达点,再沿到达点,若点在对称轴上的运动速度是它在直线上运动速度的倍,试确定点的位置,使得点按照上述要求到达点所用的时间最短.(要求:简述确定点位置的方法,但不要求证明)


【例8
如图:抛物线经过三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)已知在线段上),有一动点从点沿线段以每秒个单位长度的速度移动;同时另一个动点以某一速度从点沿线段移动,经过秒的 移动,线段垂直平 分,求的值;

(3)在(2)的条件下,为抛物线的对称轴上一动点,当的值最小时,请求出点的坐标.


【例9
在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过A(2,0)、B(4,0)两点 ,直线y轴于点C,且过点

(1)求抛物线的解析式;

(2)在x轴上找一点P,使的值最 小,求出点P的坐标;

(3)将抛物线左右平移,记平移后点A的对应点为,点B的对应点为,当四边形的周长最小时,求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值.



【例10
如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点轴的正半轴上, 的中线,过两点的抛物线轴相交 两点(的左侧)

(1)求抛物线的解析式;

(2)等边的顶点在线段上,求的长;

(3)点内的一个动点,设,请直接写出的最小值,以及取得最小值时,线段的长.



【例11
如图,在平面直角坐标系中,是坐标原点,点的坐标分别为,连结

(1)现将绕点按逆时针方向旋转90°,得到,(点 落到点处),请画出,并求经过三点的抛物线对应的函数关系式;

(2)将(1)中抛物线向右平移两个单位,点的对应点为点,平移后的抛物线与原抛物线相交于点为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连结,当取得最大值时,求点的坐标;

(3)在(2)的 条件下,当点在抛物线对称轴上运动时,是否存在点使为直角三角形?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.


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