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中考数学教学指导:利用整体思想 巧求图形面积


利用整体思想 巧求图形面积


   近几年的中考有关求阴影部分面积的题目变得灵活多样,给中考带来生机与活力,其中有一小部分客观题,阴影部分条块分割、四分五裂,迷惑着考生,令人望而生畏.但若能利用整体思想,将其合理变换,往往能迎刃而解,现列举近年部分省市中考试题加以分析,希望对读者有所裨益.

   一、巧用平移求面积

例1如图1,边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图),则=(    )

(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6


分析  先把两个三角形拼成一个正三角形,再平移到△OAB的位置,如图2.

,从而得=5.

   故选C.

例2如图3,依次以三角形,四边形,…,n边形的各顶点为圆心画半径为1的圆,且圆与圆之间两两不相交,把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S1,四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4,….n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn.则S90的值为____(结果保留π)


   分析  n个内角通过平移,重叠的每一部分是半径为1的扇形,圆心角是多边形的内角和.根据扇形的面积公式,有

三角形与各圆重叠部分面积之和

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

四边形与各圆重叠部分面积之和


   点评  以上两题通过恰当的平移变换,将看似零散的各部分图形巧妙地变为规则图形,从而顺利求出图形面积.

    二、巧用旋转求面积

   例3  如图4,在△ABC中,∠A=90°,AB=6.AC=8,分别以点B和C为圆心的两个等圆外切,则图中阴影部分面积为____(结果保留π).

   分析  由∠A=90°,得∠B+∠C=90°,将圆B中的扇形绕BC的中点旋转180°后,即可拼接成圆心角是90°的扇形.由勾股定理得BC=10,两圆半径r= 5,则图中阴影部分的面积为


   例4如图5,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半 径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为_________.

分析  在图5中,连结AB,则根据旋转的性质可知,左边图形面积等于弓形面积,再根据轴对称的性质可知,左右两边阴影部分面积相等,故阴影部分面积为:


=2π-4.

   点评  以上三题通过简单的旋转变换,将不规则图形变为扇形、弓形等规则图形 ,从而轻松地求出阴影图形面积.

   三、巧用对称求面积

   例5如图6,一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行,蚂蚁停在阴影部分的概率是______.

    分析  根据矩形中心对称的性质求出阴影部分占整个 矩形面积的,故蚂蚁停在阴影部分的概率是[来源:学科网ZXXK]

例6如图7,反比例函数y=(k>0)的图[来源:Zxxk.Com]

象与以原点(0,0)为圆心的圆交于A、B两点,且A(1,),图

中阴影部分的面积等于____(结果保留π).

   分析  根据反比例函数的图象关于坐标原点对称,是中心对称图形可得:图中两个阴影面积的和等于扇形OAB的面积.又知A(1,),即可求出∠AOD=60°,OA=2.

又∵点A、B关于直线y=x对称,如图7,[来源:Z#xx#k.Com]

  ∠AOB=2(60°-45°)=3 0°.

例7如图8,函数y=-x与函数y=-的图象

相交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点

C,D,则四边形ACBD的 面积为(    )

    (A)2    (B)4    (C)6    (D)8

   分析  根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段 、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系,即S=,得出S△AOC=S△ODB=2.

   再根据反比例函数的中心对称性,可知

    OC=OD,OA=OB,

   故四边形ACBD是平行四边形,四边形ACBD的面积为

    4S△AOC=4×2=8.

   故选D.

   点评  以上三题通过恰当的对称变换,将看似零散、不规则的各部分图形转化为简单的规则图形,从而顺利求出图形面积.

   四、 巧用等积求面积

   例8如图9,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A'的位置,则图中阴影部 分的面积为(    )

(A)π (B)2π (C) (D)4π

分析  根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA'的面积加上半圆面积再减去半圆面积,即为扇形ABA'的面积.


故选B.

   例9  如图10,正方形ABCD的边长为2,

H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF的面积为

(    )

  (A)4 (B)  (C)2  (D)2

  分析  如图12,连结CF,因为四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形,所以,

    ∠DBC=∠FCE=45°.

   得BD/ /CF,

   从而得S△DBC=S△DBC

   因为正方形ABCD的边长为2,

   所以,S△DBC×2×2=2.

   故选D.[来源:学§科§网Z§X§X§K]

   点评  以上两题通过简单合理的割补,巧妙地将原来较难求的阴影部分面积变为规则易求的图形面积,从而轻松地求出阴影图形面积.

   综 观以上可以发现,神态各异的阴影图形看似不规则,但通过合理变换和整体思想的作用 ,使我们走出“阴影”,从而顺利解决了问题.


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