副标题

中考数学教学指导:巧用“一举四得”突破中考题


巧用“一举四得”突破中考题


  已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC(或D是BC的中点).

   结论  (1)∠B=∠C=45°;

   (2)∠BAD=∠CAD=45°;

   (3)BD=CD(或AD⊥BC);

   (4)AD=BD=CD=BC.


   


这是一个非常经典的基本图形,由这个图形得到了四个结论,为方便记忆和叙述,这里称它为“一举四得”基本图形(证明略).纵观近几年中考数学试题,可以发现与此“一举四得”基本图形有关的试题不少,题目形式往往是把这个基本图形融合到一个综合题中,因此看起来比较复杂,往往使许多同学想不到以上四个结论,而导致思路受阻.实际上,若牢记上述基本图形及其四个 结论,则往往能迅速找到解决这 些问题的突破口.以下以若干中考试题为例加以说明.

   例1.(1)问题发现

   如图2.△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连结BE.

   填空:①∠AEB的度数为____;

②线段AD,BE之间的数量关系 为_______.


   (2)拓展探究

   如图3,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.

   (3)解决问题

   如图4,在正方形ABCD中,CD=,若 点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.

分析  (1)略;

   (2)易证△ADC△△BEC,

   ∴∠ADC=∠BEC.

   利用“一举四得”基本图形,易得

   ∠CDE=∠CED=45 °,

   ∴∠ADC=∠BEC=135°,

   ∴∠AEB=90°.

   由△ADC△≌△BEC,∴AD=BE,

   AE=AD+DE=BE+DE.

   利用“一举四得”基本图形,易得

   DE=2CM.

   ∴AE=BE+2CM.

   (3)略,

   例2.已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°.D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于点E、F.

   (1)当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于点E时(如图5),试证

S△DEF+S△CEFS△ABC


  

   (2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图6和图7这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

分析  (1)略;

(2)如图6,连 结CD,则构造“一举四得”[来源:学科网]

基本图形,易得

   ∠ACD=∠B=45°,

   CD=D B,CD⊥AB,

   ∴∠CDB=90°.

   ∵∠EDF=90°.

   ∴∠CDB=EDF,

   ∴∠EDC=∠FDB.

∴△CED≌∵BFD.


   如图7,连结CD,则构造“一举四得”基本图形,易得

    CD=DB , ∠CDB=90°,

   ∠ACD=∠DCB=∠DBC=45°,

   ∴∠DCE=∠DBF=135°.

    ∵∠EDF=90°,

   ∴∠CDB=EDF,

   ∴∠CDE=BDF,[来源:学#科#网Z#X#X#K]

   SDEF-SCEF=SCDBSACB


   

例3.如图8,∠ABC=90°,D、E 分别在BC、AC上,AD⊥DE, 且AD=DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.

   (1)求证:∠FMC=∠FCM;

   (2)AD与MC垂直吗?并说明理由.

   分析  (1)由“一举四得”基 本图形,易得[来源:Z_xx_k.Com]

   AF=DF,DF⊥AE,

   ∴∠DF A=DFE.[来源:学.科.网]

   ∵CB⊥AM.

∴∠BMD+∠BDM=90°,

∠FCD+∠FDC=90°.

∵∠BDM=FDC,BMD=FCD,

∴△AMF≌△DCF,

MF=FC,

∴∠FMC=FCM.

(2)由“一举四得”基本图形,易得

 ∠FDE=45°.

∵∠FMC=FCM,DFAE,[来源:学科网ZXXK]

∴∠FMC=∠FCM=45°,

∴∠FDE=FMC,

DE//MC.

∵AD⊥DE,∴AD⊥MC.

综上可见,“一举四得”基本图形在解题中具有重要的作用,因此,我们解一些中考综合题中,若能掌握和熟练运用一些基本图形,则往往可快捷地找到解题思路,从而使问题在短时间内得到正确的解答,提高解题速度和正确率.


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