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中考数学教学指导:例谈“韦达定理”在初中代数中的应用


例谈“韦达定理”在初中代数中的应


   韦达定理在解答初中数学问题中有着极其重要的作用,历年来各地中考试题都有涉及,现举例谈谈它在初中代数中的应用.

   一、 已知一元二次方程的 一个根,求另一

   例1  已知方程x2-6x=-1的一个根为3-2,求另一个根.

   分析  本题可直接解方程求出另一根,但如果应用韦达定理可更快解决.应用时应把方 程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).根据选择使得到另一根易于计算的原则,酌情选择用两根之和或两根之积.

   解  原方程变形为x2-6x+1=0,设方程的另一根为x1

   ∵已知一根为3-2,则由韦达定理,得

   x1+(3-2)=6,

   ∴x1=3+2,即方程另一根为3+2

   二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求

   例2  已知关于x的一元二次方程x2+6x+a=0(a为常数)的一个根为-3,求a的值.

   分 析  本题可直接把方程的已知根代入原方程,求出a的值,但由于已知根为无理数,代入计算比较繁.可由已知一根为-3,设另一根为x1,则应用韦达定理中两根和的关系,可得

  x1=-6-(-3)=-3-

 再应用两根之积的关系,得

 a=(-3+)(-3-)=-2.

 解  略.

   例3 设关于x的一元二次方程x2-px+8=0(p为常数)的两根为x1、x2,问p取何值时,x1  x2=1:2.

分析  本题可用求根公式先求出关于x的一元二次方程的两根,再根据两根之比,求出p的值,但解法较繁琐.可由已知两根的关系得x2=2x1,再应用韦达定理,得

  容易解得p=±6.

  解  略,

  三、求两根和、积及其代数式的值.[来源:Z。xx。k.Com]

  例4  已知方程x2-x-4=0的两根为x1、x2,试求(x12+3x1+4)·(x22+3x2+4)的值.

   分析  本题可先用求根公式求出方程的两根,再代入所求式子求出它的值,但计算量比较大.可应用韦达定理,先把(x12+3x1+4)·(x22+3x2+4)适当变形,就可求出它的值.

解  由韦达定理,得


   四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根,

   例5  试检验4+3与4-3是不是方程x 2-8x+4=0的两根.

   分析  本题可分别把两数代入检验,但计算量大,如果应用韦达定理,可只检验两数之和是否为8,两数之积是否为4,若都符合则为原方程两根,否则不是.

   解  略.

   五、已知两数和与积,求此两数,

   例6  已知两数和为5,积为1,求此两数.

   分析  本题可用设元列方程求解.但应用韦达定理的逆定理,可直接写出方程求解,

   解  依韦达定理的逆定理,可知此两数是一元二次方程x2-5x+1=0的两根,解得

x1,x2

   六、求作方程使其根为已知数或满足某种条件

   例7  求作一个一元二次方程,使其两根和为1,积为-3.

   分析  本题可用列方程方法求出一元二次方程.但如果应用韦达定理求解,会更方便.

   解  设所求一元二次方程为x2+px+q=0(p、g为常数).由一元二次方程的根与系数关系,可知

-p=1,g=-3,

   从而得方程x2-x-3=0.

   例8  已知x1、x2为一元二次方程3 x2-7x+3=0的两根,求作一个新的一元二次方程,使它的两根为2x1+1,2x2+1.

   分析  本题可先解一元二次方程,求出它的解,再代入新方程两根的代数式,用列方程方法可求出新的一元二次方程,但方法很繁琐,如应用韦达定理,相对简单.

解  设所求一元二次方程为x2+px+q=0(p、q为常数).由韦达定理,可知


   七、在解方程《组)中的应用.

   例9  解方程:

分析  本题直接解方程出现高次方程比较难,而利用韦达定理,会更容易.


   八、在证明等式或不等式中的应用[来源:Zxxk.Com]

   例10  若实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=1.求证:a、b、c有一个大于

   分析  本题用常规方法证明比较难,利用韦达定理,会利索些.

    证明  ∵a+b+c=0,abc=1,

∴a、6、c中必有一个正数,两个负数,不仿设a>0.


九、简化有理系数多项式的求值

例11  已知x=4-,求分式的值.

  分析  本题用代入法可求出所求代数式的值,但计算量大.可应用韦达定理先得到一个一元二次方程,然后把所求代数式适当变形,可容易求出.[来源:学科网]

  解  ∵x=4-,可得x2-8x+13=0.

  用x2-8x+13去除所求式子的分子与分母,得

=5.

十、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号

   例12  m为何值时,关于x的一元二次方程(m+3)x2-mx+1=0的两个根,

   (1)均为正数;

    (2)一正一负;

   (3)均为负数,

   分析  本题用常规方法有一定难度.利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合,比较容易确定两根的符号.[来源:学|科|网]

解  设方程(m+3)x2-mx+1=0的两根为x1、x2[来源:学&科&网]

(1)要x1,x2均为正,必须有

解得m≥6;

(2)要两根异号,必须有

解得m<-3;

(3)要x1x2均为负,必须有

解得-3<m≤-2.


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