副标题

中考数学教学指导:一道中考数学压轴题的变式训练


一道中考压轴题的变式训练


   数学中考压轴题的综合性强、考察面广、方法灵活多变,对学生数学能力要求很高.其实,大多数综合题虽然有一定的难度,但考查的还是学生对基本知识的掌握,是在基础知识上的综合.学生之所以对数学综合题有恐惧感,是因为平时没有很好地总结经验、规律,没有举一反三,触类旁通.下面以一道中考压轴题为例,解析数学综合题的变式训练.


 

   如图1,抛物线y = ax2 + bx + cx轴的一交点为 A (-6,0),与y轴的交点为C (0,3),且经过点G (-2,3).

   (1) 求抛物线的表达式;

   (2) 点P是线段OA上一动点,过点P作平行于y轴的直线与AC交于点Q,设CPQ的面积为S,求S的最大值;

(3) 若点B是抛物线与x轴的另一交点,点D、M在线段AB上,点N在线段AC上,∠DCB=∠CDBCDMN的垂直平分线,求点M的坐标.


   解答

(1
A、C、G三点坐标代入抛物线解析式,可得

    解得

∴ 抛物线的表达式为

     y=x2 x + 3

(2) ∵ C (0,3),

∴ 可设直线AC解析式为y = kx + 3.

A点坐标代入,可得0=-6k + 3,

解得k =

∴ 直线AC解析式为y=x + 3.

P点坐标为 (x,0)( x<0),

Q点坐标为 (xx+3).

∴ PQ=x+3, PO=-x

S=PQ·PO

       =(x + 3)(x)

   =x2x[来源:Zxxk.Com]

       =-(x + 3)2+

CPQ的面积S的最大值为

(3) 当y=0时,由-x2x + 3=0,

解得x=-6或x=4,

∴ B点坐标为 (4.0).

   ∴ BC==5.

   ∵ ∠CDB=∠DCB

   ∴ BD=BC=5,

   ∴ OD=BD-OB=5-4=1.

   ∴ D点坐标为 (-l,0),

   ∴ DAB中点,

   如图1,连结DN

   则DN=DM,∠ NDC=∠MDC

   ∴ ∠NDC=∠DCB,∴ DNBC

   ∵ DAB 中点,[来源:Zxxk.Com]

   ∴ DNABC的中位线.

   又DN=DM=BC=

   ∴ OM=DM-OD=-l=

   ∴ 点M坐标为 (,0).

   说明  本题主要考查二次函数的综 合应用,涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定和性质、三角形中位线等知识点.在 (2)中设出P点坐标,表示出PQ的长并将SCPQ看做S梯形QPOCSPOC的差是解题的关键,同时注意函数性质的应用.在 (3) 中推算出DM=DN=BC是解题的关键.

   本题考查知识点较多,综合性质很强.在解题时,先利用待定系数法,把A、C、G三点坐标代入 可求得抛物线解析式;第 (2) 问可先求得直线AC的解析式,设P (x,0),再用含x的式子表示PQ,将SCP Q看做S梯形QPOCSPOC的差,再结合二次函数的性质可求得S的最大值.第 (3) 问由条件可求得BD=BC=5=AB,可求得点DAB的中点及坐标,有∠DCB=∠CDBCDMN的垂直平分线,可证明 DNBC,得出DNABC的中位线,所以DM=DN=BC,从而得点M的坐标.

   下面,我们改变题目的条件或 结论,进行相应的变式训练,从不同的角度去把握此类题目的解决办法.学生在解答过程中去体会理解解题思路、方法之间的联系与规律,从而培养联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力.

   变式一[来源:学|科|网Z|X|X|K]

   在 (2) 的条件下,直线PQ交抛物线于点C,线段GQ是否存在最大值,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

   解析  设出P点坐标,表示出GQ的长. yGQ=-(x +) 2 +,根据二次函数的性质,得出线段GQ的最大值为

   变式二

   在 (2) 的条件下,直线PQ交抛物线于点G,是否存在点P,使APGAOC相似,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

   解析  参照图1,设点P (a,0),则点G (a,a2a + 3).

   若APGAOC相似,

   ∵ ∠APG=∠AOC=90°

   ∴ ==

   ∴ a1=0,a2=-

   或==

   △<0,方程无解.[来源:学科网]

   综上所述,当点P为 (0,0),(,0)时,APGAOC相似.

  变式三

   在 (3) 的条件下,在抛物线上是否存在点H,使ADCDHB全等,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

解析  图2中,可知∠ADC为钝角.若AADCDHB全等,通过画图发现,当∠ BDH为钝角时,点Hx轴上方的抛物线上;当∠DBH为钝角时,点Hx轴下方的抛物线上;∠BHD为钝角时,不符合题意.

   当ADCBDH时,过点H作HKx轴,交点为K

   ∵ ∠ADC=∠BDH

   ∴ ∠ODC=∠KDH

   ∵ DC=DH.∠AOD=∠HBK=90°

   ∴ ODCKDH

   ∴ CO=HKOD=KD,∴ 点H (-2,3).

   当ADCBDH 时,同理可得.

   ∴ 点H (5,-3).

综上所述,当点H为 (-2,3),(5,-3) 时,ADCDHB全等.


   变式四

   在线段OA上是否存在点P,使∠PCB为直角? 若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

解析  若∠PCB为直角,则

PCO=∠CB O

   ∵ ∠AOC=∠COB=90°

   ∴ POCCOB

   ∴ =

   ∴ =,∴ PO=,∴ 点P (-,0).

  变式五

   如图3,在 (3) 的条件下,平行于X轴的一条动直线a与直线AC相交于点I,与抛物 线相交于点J,若以I、J、D、M为顶点的四边形是平行四边形,求点J的横坐标.

   解析  设点J (x,-x2x + 3),

   则点I

   若以I、J、D、M为顶点的四边形是平行四边形,

   ∵ IJDM,∴ IJ=DM

   ∴ -x2+ 3=+ 3.

   由-x2x + 3=(x) + 3

   解得x=-3±

   由-x2x + 3=-(x) + 3

   得△<0,方程无解.

综上所述, 满足条件的点P的横坐标分别为-3+,-3-


   变式六

   若点A、C的坐标改为A (-3,0),与y轴的交点为C (0,),在 (2) 的条件下,当△CPQ为等腰三角形时,求点P的坐标.

   解析  ∵ A (-3,0),C (0,),

   ∴ ∠ACO=60°

   ∵ PQ平行于y轴,∴ ∠CQP=120°

   若△CPQ为等腰三角形,则PQ=CO

   ∵ ∠QPC=∠QCP,∠QPC=∠PCO

   ∴ ∠QCP=∠PCD=30°

   ∴ PO=1,所以,点P的坐标就求出来了.

   数学变式训练,有助于培养学生深入反思问题的 习惯;有助于抓住问题的本质和规律,探索相关问题间的内涵联系以及外延关系;有助于数学知识的建构.

总之,在数学教学中,注意典型问题的变式训练,把学生的思维逐步引向深入,这对巩固基础、培养思维、以及提高学生的数学理解能力、综合应用能力和逻辑推理能力、解题技巧等,都有着十分重要的作用.


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